Category: อัตราส่วนและร้อยละ ชั้น ม.2
การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ
ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างโจทย์และวิธีแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับร้อยละ โดยใช้สัดส่วนต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม 81 คน จงหาว่าจำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ จำนวนนักเรียนทั้งหมด
วิธีทำ ให้จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม เป็น x% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด
เขียนสัดส่วนได้ดังนี้ 
จะได้ 
ดังนั้น 
นั่นคือ จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็น 4.5% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด
ตอบ 4.5 เปอร์เซ็นต์
ตัวอย่างที่ 2 ร้านทำเครื่องเรือนแห่งหนึ่งรับเหมาทำโต๊ะ และม้านั่งนักเรียนให้แก่โรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นเงิน 28,600 บาท ปรากฏว่ามีกำไร 10% อยากทราบว่าต้นทุนของการทำโต๊ะและม้านั่งนี้เป็นเท่าไร
วิธีทำ ให้ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็นเงิน x บาท
อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น 
ได้กำไร 10% แสดงว่าต้นทุน 100 บาท ต้องคิดค่ารับเหมา 110 บาท
จะได้อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น 
เขียนอัตราส่วนได้ดังนี้ 
จะได้ 
ดังนั้น 
นั่นคือ ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็น 26,000 บาท
ตอบ 26,000 บาท
การคำนวณเกี่ยวกับร้อยละ
นักเรียนเคยคำนวณโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละมาแล้ว โดยไม่ได้ใช้สัดส่วน ต่อไปนี้จะเป็นการนำความรู้เรื่องสัดส่วนมาใช้คำนวณเกี่ยวกับร้อยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
1. 25% ของ 60 เท่ากับเท่าไร หมายความว่า ถ้ามี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แล้วจะมีกี่ส่วนใน 60 ส่วน
ให้มี a ส่วนใน 60 ส่วน
เขียนสัดส่วนได้ ดังนี้ 
จะได้ 
ดังนั้น 
นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15
1.4 ร้อยละ
ในชีวิตประจำวัน นักเรียนจะเห็นว่าเราเกี่ยวข้องกับร้อยละอยู่เสมอ เช่น การซื้อขาย กำไรขาดทุน การลดหรือการเพิ่มที่คิดเป็นร้อยละ การคิดภาษีมูลค่าเพิ่ม ฯลฯ
ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้
“เต้ยขายนาฬิกาเรือนหนึ่งได้กำไร 20%”
ข้อความข้างต้น มีความหมายว่า ถ้าเต้ยซื้อนาฬิกามาในราคา 100 บาท เต้ยจะขายนาฬิกาเรือนนี้ได้ในราคา 120 ทำให้ได้กำไร 20 บาท
ดังนั้น อัตราส่วนของกำไรต่อราคาซื้อ เป็น 
หรือ 
จะเห็นว่าเราสามารถเขียน ร้อยละ 20 หรือ 20% ในรูปของอัตราส่วนได้ เป็น 
หรือ 
คำว่า ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์ เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อ 100 เช่น
ร้อยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนด้วย 
หรือ 
ร้อยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนด้วย 
หรือ 
การเขียนอัตราส่วนใดให้อยู่ในรูปร้อยละ จะต้องเขียนด้วยอัตราส่วนนั้นให้อยู่ในรูปที่มีจำนวนหลังของอัตราส่วนเป็น 100 แล้วจะได้จำนวนแรกของอัตราส่วนเป็นค่าร้อยละที่ต้องการ เช่น
การเขียนร้อยละให้เป็นอัตราส่วนทำได้โดยเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีจำนวนแรกเป็นค่าของร้อยละ และจำนวนหลังเป็น 100 ดังตัวอย่างต่อไปนี้
1.3 อัตราส่วนหลายๆ จำนวน
อัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน a : b : c เราสามารถเขียนอัตราส่วนของ จำนวนทีละสองจำนวนได้ เป็น a : b และ b : c
เมื่อ m แทนจำนวนบวกใดๆ
จะได้ว่า a : b = am : bm
และ b : c = bm : cm
ดังนั้น a : b : c = am : bm : cm เมื่อ m แทนจำนวนบวก
ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีอัตรส่วนของจำนวนที่มากกว่าสามจำนวนก็สามารถใช้หลักการเดียวกันนี้ เช่น
a : b : c : d = am : bm : cm : dm เมื่อ m แทนจำนวนบวก
ตัวอย่างที่ 1 รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสามเป็น 2:5:6 ถ้าด้านที่สั้นที่สุดยาว 8 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูป
วิธีทำ ในอัตราส่วนที่กำหนดให้ 2:5:6 มี 2 เป็นความยาวของด้านที่สั้นที่สุด ถ้าต้องการให้ด้านที่สั้นที่สุดยาวเป็น 8 จะต้องนำ 4 มาคูณทุกจำนวนในอัตราส่วนนี้
จากอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสาม ของรูปสามเหลี่ยม เป็น 2:5:6
จะได้ 
ดังนั้น ความยาวรอบรูปเท่ากับ 
= 52 เซนติเมตร
ตอบ 52 เซนติเมตร
ตัวอย่างที่ 2 ในการผสมคอนกรีต อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1:2 และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3:2 ถ้าใช้ปูน 24 ตัน จะต้องใช้ทรายและหินอย่างละกี่ตัน
วิธีทำ อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1:2
อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3:2
จะได้ อัตราส่วนของปูนต่อทราย โดยน้ำหนัก เป็น 
และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 
ดังนั้น อัตราส่วนของปูนต่อทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 
นั่นคือ จะต้องใช้ทราย 48 ตัน และหิน 32 ตัน
ตอบ 48 ตัน และ 32 ตัน
1.2 อัตราส่วนที่เท่ากัน
ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้
แม่ให้รุ้งไปซื้อมะนาวจากตลาดข้างบ้าน รุ้งซื้อมะนาวมา 4 ผล ราคา 5 บาท จากข้อความดังกล่าว สามารถนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน เป็น 4:5
นักเรียนคิดว่า ถ้ารุ้งต้องการซื้อมะนาวตามจำนวนที่กำหนดในตาราง แล้วราคามะนาวจะเป็นเท่าไร
ให้นักเรียนเติมราคามะนาวในตารางให้สมบูรณ์
นักเรียนคิดว่าจะเขียนอัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคาเป็นบาทได้อย่างไรบ้าง ซึ่งคำตอบจะเป็น ดังนี้
4:5 หรือ 8:10 หรือ 12:15 หรือ 16:20 หรือ 20:25
จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้ ได้มาจากการซื้อมะนาวในราคาเดียวกันคือ มะนาว 4 ผล ราคา 5 บาท และกล่าวว่าอัตราส่วนเหล่านั้นเป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเขียนได้ ดังนี้
4:5 = 8:10 = 12:15 = 16:20 = 20:25
หรือ 
=
=
=
=
เราจะสังเกตเห็นว่า อัตราส่วนที่เท่ากันข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกับอัตราส่วน 
ดังนี้
การทำอัตราส่วนให้เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดไว้ข้างต้น เป็นไปตามหลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน ดังนี้
หลักการคูณ เมื่อคูณแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม
หลักการหาร เมื่อหารแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม
ตัวอย่างที่ 1 จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 7:9 มาอีก 2 อัตราส่วนโดยใช้หลักการคูณ
วิธีทำ
ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 7:9 คือ 14:18 และ 21:27
ตัวอย่างที่ 2 จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 
มาอีก อัตราส่วนโดยใช้หลักการหาร
วิธีทำ
ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 
คือ 
และ 
ตอบ 
และ 
ตัวอย่างที่ 3 ร้านค้าแห่งหนึ่งขายปากกาในราคาโหลละ 36 บาท ราณีต้องการซื้อปากกา 60 ด้าม ราณีต้องจ่ายเงินเท่าไร สมัยต้องการซื้อปากกาในราคาเดียวกันนี้บ้าง แต่มีเงินเพียง 6 บาท ถ้าร้านค้ายอมขายปลีกให้ในราคาเดียวกัน สมัยจะซื้อปากกาได้กี่ด้าม
วิธีทำ ร้านค้าขายปากกาในราคาโหลละ 36 บาทเขียนอัตราส่วนของจำนวนปากกาเป็นด้ามต่อราคาเป็นบาท เป็น
ต้องการซื้อ 60 ด้าม จึงต้องทำจำนวนแรกของอัตราส่วนให้เป็น 60 ซึ่งเท่ากับ 12×5
ดังนั้น ราณีต้องจ่ายเงิน 180 บาท
สมัยต้องการซื้อปากกาในราคาเดียวกับราณี แต่มีเงินเพียง 6 บาท
มีเงิน 6 บาท จึงต้องทำจำนวนหลังของอัตราส่วนให้เป็น 6 ซึ่งเท่ากับ
ดังนั้น สมัยซื้อปากกาได้ 2 ด้าม
ตอบ ราณีจ่ายเงิน 180 บาท , สมัยซื้อปากกาได้ 2 ด้าม
หมายเหตุ มีอัตราส่วนบางอัตราส่วนที่เราไม่สามารถนำอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนนั้นมาใช้ เพราะเมื่อนำมาใช้แล้วจะทำให้ความหมายผิดไป เช่น จากข้อความ “ภราดร แข่งขันเทนนิสชนะ 3 ต่อ 2 เซท” เมื่อนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน จะได้ ดังนี้
อัตราส่วนของจำนวนเซทที่ภราดร ชนะต่อจำนวนเซทที่ภราดรแพ้เป็น 3:2 ซึ่งหมายความว่าในการแข่งขันเทนนิส 5 เซท ภราดรชนะ 3 เซท และแพ้ 2 เซท
ถ้าเราหาอัตราส่วนที่เท่ากับ 3:2 ได้เป็น 6:4 ก็ไม่ได้หมายความว่า ในการแข่งขันเทนนิส 10 เซท ภราดรจะต้องชนะ 6 เซท และแพ้ 4 เซท
การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วนโดยใช้การคูณไขว้
พิจารณาอัตราส่วนสองอัตราส่วนต่อไปนี้
กับ 
เราสามารถตรวจสอบว่า อัตราส่วนทั้งสองนี้เท่ากับหรือไม่ ดังนี้
จำนวน 27 ที่นำมาคูณเป็นจำนวนหลังของอัตราส่วน 
และ
จำนวน 12 ที่นำมาคูณเป็นจำนวนหลังของอัตราส่วน 
และ 
เนื่องจาก 12×27 = 27×12
จึงตรวจสอบว่า 20×27 = 45×12 หรือไม่
เนื่องจาก 20×27 = 540 และ 45×12 = 540
ดังนั้น 20×27 = 45×12
จึงสรุปได้ว่า 
กับ 
เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
ให้สังเกตว่า 20×27 และ 45×12 ได้มาจากการคูณไขว้ ดังแผนภาพ
ซึ่ง ผลคูณไขว้ 20×27 = 45×12 ข้างต้นนี้ ทำให้เราสรุปได้ว่า อัตราส่วน 
และ 
เท่ากัน
โดยทั่วไปเราสามารถตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน 
และ 
ด้วยการ คูณไขว้ 
แล้วพิจารณา ผลคูณไขว้ a x d และ b x c ตามหลักการ ดังนี้
ถ้า a x d = b x c แล้ว 
= 
ถ้า a x d 
b x c แล้ว 
จากหลักการข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปต่อไปอีกว่า
ถ้า 
= 
แล้ว a x d = b x c
ตัวอย่างที่ 4 จงตรวจสอบว่าอัตราส่วนในแต่ละข้อต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่
1) 
และ 
2) 
และ 
วิธีทำ 1) จากการคูณไขว้ 
จะได้ 2×45 = 90
6×15 = 90
ดังนั้น 2×45 = 6×15
นั่นคือ 
= 
2) จากการคูณไขว้ 
จะได้ 3×10 = 30
7×6 = 42
ดังนั้น 3×10 
7×6
นั่นคือ 
ตอบ 1) 
และ
เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
2) 
เป็นอัตราส่วนที่ไม่เท่ากัน
1.1 อัตราส่วน
อัตราส่วนของปริมาณ a ต่อ ปริมาณ b เขียนแทนด้วย a:b หรือ
เรียก a ว่า จำนวนแรก หรือจำนวนที่หนึ่งของอัตราส่วน และเรียก b ว่าจำนวนหลังหรือจำนวนที่สองของอัตราส่วน อัตราส่วน a ต่อ b จะพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ a และ b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น
ตำแหน่งของจำนวนในแต่ละอัตราส่วนมีความสำคัญ กล่าวคือ เมื่อ a 
b อัตราส่วน a:b ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับอัตราส่วน b:a เช่น อัตราส่วนของปริมาณผักเป็นกำต่อราคาเป็นบาทเป็น 3:10 ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับ 10:3 ทั้งนี้เพราะอัตราส่วน 3:10 หมายถึง ปริมาณผัก 3 กำ ราคา 10 บาท ในขณะที่อัตราส่วน 10:3 หมายถึง ปริมาณผัก 10 กำ ราคา 3 บาท
ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้
1.อัตราครู 1 คน ต่อนักเรียน 20 คน
2.ไข่ไก่ 10 ฟอง ราคา 22 บาท
3.ค่าโดยสารรถประจำทางตลอดสายคนละ 3.50 บาท
4.รถยนต์วิ่งด้วยอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
5.อัตราแลกเปลี่ยนเงิน 47.14 บาทต่อ 1 ยูโร
6.นมสด 12 กระป๋อง ราคา 93 บาท
จากข้อความข้างต้นเราสามารถเขียนอัตราส่วนแสดงความสัมพันธ์ได้ ดังนี้
1.อัตราส่วนของจำนวนครูต่อนักเรียน เป็น 1:20
2.อัตราส่วนของไข่ไก่เป็นฟองต่อราคาเป็นบาท เป็น 10:22
3.อัตราส่วนของจำนวนผู้โดยสารเป็นคนต่อค่าโดยสารเป็นบาท เป็น 1:3.50
4.อัตราส่วนของระยะทางเป็นกิโลเมตรต่อเวลาที่ใช้เดินทางเป็นชั่วโมง เป็น 80:1
5.อัตราส่วนของจำนวนเป็นเงินบาทต่อจำนวนเงินเป็นยูโร เป็น 47.14:1
6.อัตราส่วนของจำนวนนมสดเป็นกระป๋องต่อราคาเป็นบาท เป็น 12:93
จากการเขียนอัตราส่วนข้างต้น จะเห็นว่า อัตราส่วนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยเดียวกันและมีความชัดเจนเป็นหน่วยของสิ่งของสิ่งใด เช่น น้ำหนัก หรือ ปริมาตร เราไม่นิยมเขียนหน่วยกำกับไว้ ดังตัวอย่างเช่น
อัตราส่วนของน้ำหนักหญ้าสดต่อน้ำหนักมูลไก่ เป็น 50:5 หรือ
อัตราส่วนของปริมาณหญ้าสดต่อปริมาณมูลไก่โดยน้ำหนัก เป็น 50:5
ถ้าเป็นอัตราส่วนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยต่างกัน เราจะเขียนหน่วยกำกับไว้ เช่น อัตราส่วนของจำนวนไข่เป็นฟองต่อราคาเป็นบาท เป็น 10:22
