Category: อัตราส่วนและร้อยละ ชั้น ม.2


 

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ

              ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างโจทย์และวิธีแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับร้อยละ โดยใช้สัดส่วนต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1     โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม 81 คน จงหาว่าจำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ จำนวนนักเรียนทั้งหมด

วิธีทำ       ให้จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม เป็น x% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

                             เขียนสัดส่วนได้ดังนี้

                                                จะได้  

                                                           

                             ดังนั้น                      

      นั่นคือ จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็น 4.5% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

     ตอบ 4.5 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างที่ 2     ร้านทำเครื่องเรือนแห่งหนึ่งรับเหมาทำโต๊ะ และม้านั่งนักเรียนให้แก่โรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นเงิน 28,600 บาท ปรากฏว่ามีกำไร 10% อยากทราบว่าต้นทุนของการทำโต๊ะและม้านั่งนี้เป็นเท่าไร

วิธีทำ        ให้ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็นเงิน x บาท

                อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น

ได้กำไร 10% แสดงว่าต้นทุน 100 บาท ต้องคิดค่ารับเหมา 110 บาท

               จะได้อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น

               เขียนอัตราส่วนได้ดังนี้     

                                        จะได้    

                                                     

                      ดังนั้น                       

     นั่นคือ ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็น 26,000 บาท

      ตอบ 26,000 บาท

การคำนวณเกี่ยวกับร้อยละ

              นักเรียนเคยคำนวณโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละมาแล้ว โดยไม่ได้ใช้สัดส่วน ต่อไปนี้จะเป็นการนำความรู้เรื่องสัดส่วนมาใช้คำนวณเกี่ยวกับร้อยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 1. 25% ของ 60 เท่ากับเท่าไร หมายความว่า ถ้ามี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แล้วจะมีกี่ส่วนใน 60 ส่วน

                  ให้มี a ส่วนใน 60 ส่วน

                  เขียนสัดส่วนได้ ดังนี้

                                         จะได้

                                                  

                               ดังนั้น            

           นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15

1.4 ร้อยละ

              ในชีวิตประจำวัน นักเรียนจะเห็นว่าเราเกี่ยวข้องกับร้อยละอยู่เสมอ เช่น การซื้อขาย กำไรขาดทุน การลดหรือการเพิ่มที่คิดเป็นร้อยละ การคิดภาษีมูลค่าเพิ่ม ฯลฯ

              ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

“เต้ยขายนาฬิกาเรือนหนึ่งได้กำไร 20%”

ข้อความข้างต้น มีความหมายว่า ถ้าเต้ยซื้อนาฬิกามาในราคา 100 บาท เต้ยจะขายนาฬิกาเรือนนี้ได้ในราคา 120  ทำให้ได้กำไร 20 บาท

ดังนั้น อัตราส่วนของกำไรต่อราคาซื้อ เป็น  หรือ  จะเห็นว่าเราสามารถเขียน ร้อยละ 20 หรือ 20% ในรูปของอัตราส่วนได้ เป็น  หรือ  

คำว่า ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์ เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อ 100 เช่น

              ร้อยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนด้วย หรือ

              ร้อยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนด้วย  หรือ

การเขียนอัตราส่วนใดให้อยู่ในรูปร้อยละ จะต้องเขียนด้วยอัตราส่วนนั้นให้อยู่ในรูปที่มีจำนวนหลังของอัตราส่วนเป็น 100 แล้วจะได้จำนวนแรกของอัตราส่วนเป็นค่าร้อยละที่ต้องการ เช่น

 

 

  การเขียนร้อยละให้เป็นอัตราส่วนทำได้โดยเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีจำนวนแรกเป็นค่าของร้อยละ และจำนวนหลังเป็น 100 ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

 

1.3 อัตราส่วนหลายๆ จำนวน

  อัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน a : b : c เราสามารถเขียนอัตราส่วนของ จำนวนทีละสองจำนวนได้ เป็น a : b และ b : c

              เมื่อ m แทนจำนวนบวกใดๆ

              จะได้ว่า a : b = am : bm

                   และ b : c = bm : cm

 ดังนั้น a : b : c = am : bm : cm เมื่อ m แทนจำนวนบวก

ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีอัตรส่วนของจำนวนที่มากกว่าสามจำนวนก็สามารถใช้หลักการเดียวกันนี้ เช่น

               a : b : c : d = am : bm : cm : dm เมื่อ m แทนจำนวนบวก

ตัวอย่างที่ 1     รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสามเป็น 2:5:6 ถ้าด้านที่สั้นที่สุดยาว 8 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูป

วิธีทำ                  ในอัตราส่วนที่กำหนดให้ 2:5:6 มี 2 เป็นความยาวของด้านที่สั้นที่สุด ถ้าต้องการให้ด้านที่สั้นที่สุดยาวเป็น 8 จะต้องนำ 4 มาคูณทุกจำนวนในอัตราส่วนนี้

จากอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสาม ของรูปสามเหลี่ยม เป็น 2:5:6

จะได้

                                

ดังนั้น ความยาวรอบรูปเท่ากับ

                                              = 52 เซนติเมตร

           ตอบ 52 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2 ในการผสมคอนกรีต อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1:2 และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3:2 ถ้าใช้ปูน 24 ตัน จะต้องใช้ทรายและหินอย่างละกี่ตัน

วิธีทำ        อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1:2

                อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3:2

              จะได้ อัตราส่วนของปูนต่อทราย โดยน้ำหนัก เป็น 

                และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น                                                                                                                 

              ดังนั้น อัตราส่วนของปูนต่อทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น

                                                                                                                       

                 นั่นคือ จะต้องใช้ทราย 48 ตัน และหิน 32 ตัน

        ตอบ 48 ตัน และ 32 ตัน

1.2 อัตราส่วนที่เท่ากัน

 ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

         แม่ให้รุ้งไปซื้อมะนาวจากตลาดข้างบ้าน รุ้งซื้อมะนาวมา 4 ผล ราคา 5 บาท จากข้อความดังกล่าว สามารถนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน เป็น 4:5

 นักเรียนคิดว่า ถ้ารุ้งต้องการซื้อมะนาวตามจำนวนที่กำหนดในตาราง แล้วราคามะนาวจะเป็นเท่าไร

  

        ให้นักเรียนเติมราคามะนาวในตารางให้สมบูรณ์

นักเรียนคิดว่าจะเขียนอัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคาเป็นบาทได้อย่างไรบ้าง ซึ่งคำตอบจะเป็น ดังนี้

              4:5 หรือ 8:10 หรือ 12:15 หรือ 16:20 หรือ 20:25

     จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้ ได้มาจากการซื้อมะนาวในราคาเดียวกันคือ มะนาว 4 ผล ราคา 5 บาท และกล่าวว่าอัตราส่วนเหล่านั้นเป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเขียนได้ ดังนี้

              4:5 = 8:10 = 12:15 = 16:20 = 20:25

หรือ   =  =  =  =เราจะสังเกตเห็นว่า อัตราส่วนที่เท่ากันข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกับอัตราส่วน   ดังนี้

 

 

 

 

การทำอัตราส่วนให้เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดไว้ข้างต้น เป็นไปตามหลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน ดังนี้

         หลักการคูณ เมื่อคูณแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม

        หลักการหาร เมื่อหารแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม

 ตัวอย่างที่ 1 จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 7:9 มาอีก 2 อัตราส่วนโดยใช้หลักการคูณ

วิธีทำ      

                            

                            

ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 7:9 คือ 14:18 และ 21:27

ตัวอย่างที่ 2     จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน  มาอีก อัตราส่วนโดยใช้หลักการหาร

วิธีทำ  

                                 

                                            

 

ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน   คือ  และ

ตอบ   และ 

ตัวอย่างที่ 3     ร้านค้าแห่งหนึ่งขายปากกาในราคาโหลละ 36 บาท ราณีต้องการซื้อปากกา 60 ด้าม ราณีต้องจ่ายเงินเท่าไร สมัยต้องการซื้อปากกาในราคาเดียวกันนี้บ้าง แต่มีเงินเพียง 6 บาท ถ้าร้านค้ายอมขายปลีกให้ในราคาเดียวกัน สมัยจะซื้อปากกาได้กี่ด้าม

วิธีทำ       ร้านค้าขายปากกาในราคาโหลละ 36 บาทเขียนอัตราส่วนของจำนวนปากกาเป็นด้ามต่อราคาเป็นบาท เป็น

                                                       

          ต้องการซื้อ 60 ด้าม จึงต้องทำจำนวนแรกของอัตราส่วนให้เป็น 60 ซึ่งเท่ากับ 12×5

                                           

ดังนั้น ราณีต้องจ่ายเงิน 180 บาท

              สมัยต้องการซื้อปากกาในราคาเดียวกับราณี แต่มีเงินเพียง 6 บาท

              มีเงิน 6 บาท จึงต้องทำจำนวนหลังของอัตราส่วนให้เป็น 6 ซึ่งเท่ากับ

                                            

                           ดังนั้น สมัยซื้อปากกาได้ 2 ด้าม

ตอบ ราณีจ่ายเงิน 180 บาท , สมัยซื้อปากกาได้ 2 ด้าม

หมายเหตุ  มีอัตราส่วนบางอัตราส่วนที่เราไม่สามารถนำอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนนั้นมาใช้ เพราะเมื่อนำมาใช้แล้วจะทำให้ความหมายผิดไป เช่น จากข้อความ “ภราดร แข่งขันเทนนิสชนะ 3 ต่อ 2 เซท” เมื่อนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน จะได้ ดังนี้

              อัตราส่วนของจำนวนเซทที่ภราดร ชนะต่อจำนวนเซทที่ภราดรแพ้เป็น 3:2 ซึ่งหมายความว่าในการแข่งขันเทนนิส 5 เซท ภราดรชนะ 3 เซท และแพ้ 2 เซท

ถ้าเราหาอัตราส่วนที่เท่ากับ 3:2 ได้เป็น 6:4 ก็ไม่ได้หมายความว่า ในการแข่งขันเทนนิส 10 เซท ภราดรจะต้องชนะ 6 เซท และแพ้ 4 เซท

การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วนโดยใช้การคูณไขว้

              พิจารณาอัตราส่วนสองอัตราส่วนต่อไปนี้

                            กับ 

              เราสามารถตรวจสอบว่า อัตราส่วนทั้งสองนี้เท่ากับหรือไม่ ดังนี้

จำนวน 27 ที่นำมาคูณเป็นจำนวนหลังของอัตราส่วน และ

 จำนวน 12 ที่นำมาคูณเป็นจำนวนหลังของอัตราส่วน  และ 

เนื่องจาก 12×27 = 27×12

จึงตรวจสอบว่า 20×27 = 45×12 หรือไม่

เนื่องจาก 20×27 = 540 และ 45×12 = 540

ดังนั้น 20×27 = 45×12

จึงสรุปได้ว่า กับ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

ให้สังเกตว่า 20×27 และ 45×12 ได้มาจากการคูณไขว้ ดังแผนภาพ

                                                   

     ซึ่ง ผลคูณไขว้ 20×27 = 45×12 ข้างต้นนี้ ทำให้เราสรุปได้ว่า อัตราส่วน  และ  เท่ากัน

โดยทั่วไปเราสามารถตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน  และ  ด้วยการ คูณไขว้

แล้วพิจารณา ผลคูณไขว้ a x d และ b x c ตามหลักการ ดังนี้

ถ้า a x d = b x c  แล้ว =

ถ้า a x d  b x c  แล้ว

จากหลักการข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปต่อไปอีกว่า

ถ้า  =  แล้ว a x d = b x c

ตัวอย่างที่ 4     จงตรวจสอบว่าอัตราส่วนในแต่ละข้อต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

              1) และ

              2) และ

วิธีทำ   1) จากการคูณไขว้       

           จะได้ 2×45 = 90

                    6×15 = 90

     ดังนั้น 2×45 = 6×15

     นั่นคือ =

2) จากการคูณไขว้            

            จะได้ 3×10 = 30

                       7×6 = 42

     ดังนั้น 3×10  7×6

 

      นั่นคือ        

             ตอบ     1) และ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

                            2)  เป็นอัตราส่วนที่ไม่เท่ากัน

1.1 อัตราส่วน

        อัตราส่วนของปริมาณ a ต่อ ปริมาณ b เขียนแทนด้วย a:b  หรือ เรียก a ว่า จำนวนแรก หรือจำนวนที่หนึ่งของอัตราส่วน และเรียก b  ว่าจำนวนหลังหรือจำนวนที่สองของอัตราส่วน อัตราส่วน a ต่อ b จะพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ a และ b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น

        ตำแหน่งของจำนวนในแต่ละอัตราส่วนมีความสำคัญ กล่าวคือ เมื่อ a b  อัตราส่วน a:b ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับอัตราส่วน b:a เช่น อัตราส่วนของปริมาณผักเป็นกำต่อราคาเป็นบาทเป็น 3:10 ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับ 10:3 ทั้งนี้เพราะอัตราส่วน 3:10 หมายถึง ปริมาณผัก 3 กำ ราคา 10 บาท ในขณะที่อัตราส่วน 10:3 หมายถึง ปริมาณผัก 10 กำ ราคา 3 บาท

ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

1.อัตราครู 1 คน ต่อนักเรียน 20 คน

2.ไข่ไก่ 10 ฟอง ราคา 22 บาท

3.ค่าโดยสารรถประจำทางตลอดสายคนละ 3.50 บาท

4.รถยนต์วิ่งด้วยอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

5.อัตราแลกเปลี่ยนเงิน 47.14 บาทต่อ 1 ยูโร

6.นมสด 12 กระป๋อง ราคา 93 บาท

จากข้อความข้างต้นเราสามารถเขียนอัตราส่วนแสดงความสัมพันธ์ได้ ดังนี้

1.อัตราส่วนของจำนวนครูต่อนักเรียน เป็น 1:20

2.อัตราส่วนของไข่ไก่เป็นฟองต่อราคาเป็นบาท เป็น 10:22

3.อัตราส่วนของจำนวนผู้โดยสารเป็นคนต่อค่าโดยสารเป็นบาท เป็น 1:3.50

4.อัตราส่วนของระยะทางเป็นกิโลเมตรต่อเวลาที่ใช้เดินทางเป็นชั่วโมง เป็น 80:1

5.อัตราส่วนของจำนวนเป็นเงินบาทต่อจำนวนเงินเป็นยูโร เป็น 47.14:1

6.อัตราส่วนของจำนวนนมสดเป็นกระป๋องต่อราคาเป็นบาท เป็น 12:93

 

จากการเขียนอัตราส่วนข้างต้น จะเห็นว่า อัตราส่วนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยเดียวกันและมีความชัดเจนเป็นหน่วยของสิ่งของสิ่งใด เช่น น้ำหนัก หรือ ปริมาตร เราไม่นิยมเขียนหน่วยกำกับไว้ ดังตัวอย่างเช่น

อัตราส่วนของน้ำหนักหญ้าสดต่อน้ำหนักมูลไก่ เป็น 50:5 หรือ

อัตราส่วนของปริมาณหญ้าสดต่อปริมาณมูลไก่โดยน้ำหนัก เป็น 50:5

ถ้าเป็นอัตราส่วนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยต่างกัน เราจะเขียนหน่วยกำกับไว้ เช่น อัตราส่วนของจำนวนไข่เป็นฟองต่อราคาเป็นบาท เป็น 10:22

สถานการณ์ปัญหา       

      ผู้ใหญ่มานะเป็นผู้ใหญ่บ้านของหมู่บ้านรักสงบซึ่งมีคนอาศัยอยู่ 1,200 คน ร้อยละ 6 ของจำนวนคนทั้งหมดทำงานโรงงานสัปปะรดกระป๋อง ร้อยละ 10 ของจำนวนคนทั้งหมดทำงานโรงงานเซรามิคและ ร้อยละ 25 ของจำนวนคนทั้งหมดมีอาชีพทำไร่ทำสวน ผู้ใหญ่มานะอยากทราบว่า ร้อยละ 6, ร้อยละ10, ร้อยละ 25 คิดเป็นจำนวนคนกี่คนแต่ผู้ใหญ่มานะคิดไม่เป็น
        ในฐานะที่คุณเป็นผู้รอบรู้ คุณจะมีวิธีคิดออกมาให้ได้จำนวนคนอย่างไร

ภารกิจ

 1.จงหาจำนวนคนที่ทำงานในโรงงานสัปปะรดว่ามีกี่คน แสดงวิธีคิดมาอย่างละเอียด
2.จงหาจำนวนคนที่ทำงานในโรงงานเซรามิคว่ามีกี่คน แสดงวิธีคิดมาอย่างละเอียด
3.จงหาจำนวนคนที่มีอาชีพทำไร่ทำสวนว่ามีกี่คน แสดงวิธีคิดมาอย่างละเอียด

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.