Category: อัตราส่วนและร้อยละ ชั้น ม.2


 

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ

              ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างโจทย์และวิธีแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับร้อยละ โดยใช้สัดส่วนต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1     โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม 81 คน จงหาว่าจำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ จำนวนนักเรียนทั้งหมด

วิธีทำ       ให้จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม เป็น x% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

                             เขียนสัดส่วนได้ดังนี้

                                                จะได้  

                                                           

                             ดังนั้น                      

      นั่นคือ จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็น 4.5% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

     ตอบ 4.5 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างที่ 2     ร้านทำเครื่องเรือนแห่งหนึ่งรับเหมาทำโต๊ะ และม้านั่งนักเรียนให้แก่โรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นเงิน 28,600 บาท ปรากฏว่ามีกำไร 10% อยากทราบว่าต้นทุนของการทำโต๊ะและม้านั่งนี้เป็นเท่าไร

วิธีทำ        ให้ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็นเงิน x บาท

                อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น

ได้กำไร 10% แสดงว่าต้นทุน 100 บาท ต้องคิดค่ารับเหมา 110 บาท

               จะได้อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น

               เขียนอัตราส่วนได้ดังนี้     

                                        จะได้    

                                                     

                      ดังนั้น                       

     นั่นคือ ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็น 26,000 บาท

      ตอบ 26,000 บาท

การคำนวณเกี่ยวกับร้อยละ

              นักเรียนเคยคำนวณโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละมาแล้ว โดยไม่ได้ใช้สัดส่วน ต่อไปนี้จะเป็นการนำความรู้เรื่องสัดส่วนมาใช้คำนวณเกี่ยวกับร้อยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 1. 25% ของ 60 เท่ากับเท่าไร หมายความว่า ถ้ามี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แล้วจะมีกี่ส่วนใน 60 ส่วน

                  ให้มี a ส่วนใน 60 ส่วน

                  เขียนสัดส่วนได้ ดังนี้

                                         จะได้

                                                  

                               ดังนั้น            

           นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15

1.4 ร้อยละ

              ในชีวิตประจำวัน นักเรียนจะเห็นว่าเราเกี่ยวข้องกับร้อยละอยู่เสมอ เช่น การซื้อขาย กำไรขาดทุน การลดหรือการเพิ่มที่คิดเป็นร้อยละ การคิดภาษีมูลค่าเพิ่ม ฯลฯ

              ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

“เต้ยขายนาฬิกาเรือนหนึ่งได้กำไร 20%”

ข้อความข้างต้น มีความหมายว่า ถ้าเต้ยซื้อนาฬิกามาในราคา 100 บาท เต้ยจะขายนาฬิกาเรือนนี้ได้ในราคา 120  ทำให้ได้กำไร 20 บาท

ดังนั้น อัตราส่วนของกำไรต่อราคาซื้อ เป็น  หรือ  จะเห็นว่าเราสามารถเขียน ร้อยละ 20 หรือ 20% ในรูปของอัตราส่วนได้ เป็น  หรือ  

คำว่า ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์ เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อ 100 เช่น

              ร้อยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนด้วย หรือ

              ร้อยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนด้วย  หรือ

การเขียนอัตราส่วนใดให้อยู่ในรูปร้อยละ จะต้องเขียนด้วยอัตราส่วนนั้นให้อยู่ในรูปที่มีจำนวนหลังของอัตราส่วนเป็น 100 แล้วจะได้จำนวนแรกของอัตราส่วนเป็นค่าร้อยละที่ต้องการ เช่น

 

 

  การเขียนร้อยละให้เป็นอัตราส่วนทำได้โดยเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีจำนวนแรกเป็นค่าของร้อยละ และจำนวนหลังเป็น 100 ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

 

1.3 อัตราส่วนหลายๆ จำนวน

  อัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน a : b : c เราสามารถเขียนอัตราส่วนของ จำนวนทีละสองจำนวนได้ เป็น a : b และ b : c

              เมื่อ m แทนจำนวนบวกใดๆ

              จะได้ว่า a : b = am : bm

                   และ b : c = bm : cm

 ดังนั้น a : b : c = am : bm : cm เมื่อ m แทนจำนวนบวก

ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีอัตรส่วนของจำนวนที่มากกว่าสามจำนวนก็สามารถใช้หลักการเดียวกันนี้ เช่น

               a : b : c : d = am : bm : cm : dm เมื่อ m แทนจำนวนบวก

ตัวอย่างที่ 1     รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสามเป็น 2:5:6 ถ้าด้านที่สั้นที่สุดยาว 8 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูป

วิธีทำ                  ในอัตราส่วนที่กำหนดให้ 2:5:6 มี 2 เป็นความยาวของด้านที่สั้นที่สุด ถ้าต้องการให้ด้านที่สั้นที่สุดยาวเป็น 8 จะต้องนำ 4 มาคูณทุกจำนวนในอัตราส่วนนี้

จากอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสาม ของรูปสามเหลี่ยม เป็น 2:5:6

จะได้

                                

ดังนั้น ความยาวรอบรูปเท่ากับ

                                              = 52 เซนติเมตร

           ตอบ 52 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2 ในการผสมคอนกรีต อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1:2 และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3:2 ถ้าใช้ปูน 24 ตัน จะต้องใช้ทรายและหินอย่างละกี่ตัน

วิธีทำ        อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1:2

                อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3:2

              จะได้ อัตราส่วนของปูนต่อทราย โดยน้ำหนัก เป็น 

                และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น                                                                                                                 

              ดังนั้น อัตราส่วนของปูนต่อทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น

                                                                                                                       

                 นั่นคือ จะต้องใช้ทราย 48 ตัน และหิน 32 ตัน

        ตอบ 48 ตัน และ 32 ตัน

1.2 อัตราส่วนที่เท่ากัน

 ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

         แม่ให้รุ้งไปซื้อมะนาวจากตลาดข้างบ้าน รุ้งซื้อมะนาวมา 4 ผล ราคา 5 บาท จากข้อความดังกล่าว สามารถนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน เป็น 4:5

 นักเรียนคิดว่า ถ้ารุ้งต้องการซื้อมะนาวตามจำนวนที่กำหนดในตาราง แล้วราคามะนาวจะเป็นเท่าไร

  

        ให้นักเรียนเติมราคามะนาวในตารางให้สมบูรณ์

นักเรียนคิดว่าจะเขียนอัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคาเป็นบาทได้อย่างไรบ้าง ซึ่งคำตอบจะเป็น ดังนี้

              4:5 หรือ 8:10 หรือ 12:15 หรือ 16:20 หรือ 20:25

     จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้ ได้มาจากการซื้อมะนาวในราคาเดียวกันคือ มะนาว 4 ผล ราคา 5 บาท และกล่าวว่าอัตราส่วนเหล่านั้นเป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเขียนได้ ดังนี้

              4:5 = 8:10 = 12:15 = 16:20 = 20:25

หรือ   =  =  =  =เราจะสังเกตเห็นว่า อัตราส่วนที่เท่ากันข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกับอัตราส่วน   ดังนี้

 

 

 

 

การทำอัตราส่วนให้เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดไว้ข้างต้น เป็นไปตามหลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน ดังนี้

         หลักการคูณ เมื่อคูณแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม

        หลักการหาร เมื่อหารแต่ละจำนวนในอัตราส่วนใดด้วยจำนวนเดียวกันโดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม

 ตัวอย่างที่ 1 จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 7:9 มาอีก 2 อัตราส่วนโดยใช้หลักการคูณ

วิธีทำ      

                            

                            

ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 7:9 คือ 14:18 และ 21:27

ตัวอย่างที่ 2     จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน  มาอีก อัตราส่วนโดยใช้หลักการหาร

วิธีทำ  

                                 

                                            

 

ดังนั้น อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน   คือ  และ

ตอบ   และ 

ตัวอย่างที่ 3     ร้านค้าแห่งหนึ่งขายปากกาในราคาโหลละ 36 บาท ราณีต้องการซื้อปากกา 60 ด้าม ราณีต้องจ่ายเงินเท่าไร สมัยต้องการซื้อปากกาในราคาเดียวกันนี้บ้าง แต่มีเงินเพียง 6 บาท ถ้าร้านค้ายอมขายปลีกให้ในราคาเดียวกัน สมัยจะซื้อปากกาได้กี่ด้าม

วิธีทำ       ร้านค้าขายปากกาในราคาโหลละ 36 บาทเขียนอัตราส่วนของจำนวนปากกาเป็นด้ามต่อราคาเป็นบาท เป็น

                                                       

          ต้องการซื้อ 60 ด้าม จึงต้องทำจำนวนแรกของอัตราส่วนให้เป็น 60 ซึ่งเท่ากับ 12×5

                                           

ดังนั้น ราณีต้องจ่ายเงิน 180 บาท

              สมัยต้องการซื้อปากกาในราคาเดียวกับราณี แต่มีเงินเพียง 6 บาท

              มีเงิน 6 บาท จึงต้องทำจำนวนหลังของอัตราส่วนให้เป็น 6 ซึ่งเท่ากับ

                                            

                           ดังนั้น สมัยซื้อปากกาได้ 2 ด้าม

ตอบ ราณีจ่ายเงิน 180 บาท , สมัยซื้อปากกาได้ 2 ด้าม

หมายเหตุ  มีอัตราส่วนบางอัตราส่วนที่เราไม่สามารถนำอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนนั้นมาใช้ เพราะเมื่อนำมาใช้แล้วจะทำให้ความหมายผิดไป เช่น จากข้อความ “ภราดร แข่งขันเทนนิสชนะ 3 ต่อ 2 เซท” เมื่อนำมาเขียนในรูปอัตราส่วน จะได้ ดังนี้

              อัตราส่วนของจำนวนเซทที่ภราดร ชนะต่อจำนวนเซทที่ภราดรแพ้เป็น 3:2 ซึ่งหมายความว่าในการแข่งขันเทนนิส 5 เซท ภราดรชนะ 3 เซท และแพ้ 2 เซท

ถ้าเราหาอัตราส่วนที่เท่ากับ 3:2 ได้เป็น 6:4 ก็ไม่ได้หมายความว่า ในการแข่งขันเทนนิส 10 เซท ภราดรจะต้องชนะ 6 เซท และแพ้ 4 เซท

การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วนโดยใช้การคูณไขว้

              พิจารณาอัตราส่วนสองอัตราส่วนต่อไปนี้

                            กับ 

              เราสามารถตรวจสอบว่า อัตราส่วนทั้งสองนี้เท่ากับหรือไม่ ดังนี้

จำนวน 27 ที่นำมาคูณเป็นจำนวนหลังของอัตราส่วน และ

 จำนวน 12 ที่นำมาคูณเป็นจำนวนหลังของอัตราส่วน  และ 

เนื่องจาก 12×27 = 27×12

จึงตรวจสอบว่า 20×27 = 45×12 หรือไม่

เนื่องจาก 20×27 = 540 และ 45×12 = 540

ดังนั้น 20×27 = 45×12

จึงสรุปได้ว่า กับ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

ให้สังเกตว่า 20×27 และ 45×12 ได้มาจากการคูณไขว้ ดังแผนภาพ

                                                   

     ซึ่ง ผลคูณไขว้ 20×27 = 45×12 ข้างต้นนี้ ทำให้เราสรุปได้ว่า อัตราส่วน  และ  เท่ากัน

โดยทั่วไปเราสามารถตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน  และ  ด้วยการ คูณไขว้

แล้วพิจารณา ผลคูณไขว้ a x d และ b x c ตามหลักการ ดังนี้

ถ้า a x d = b x c  แล้ว =

ถ้า a x d  b x c  แล้ว

จากหลักการข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปต่อไปอีกว่า

ถ้า  =  แล้ว a x d = b x c

ตัวอย่างที่ 4     จงตรวจสอบว่าอัตราส่วนในแต่ละข้อต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

              1) และ

              2) และ

วิธีทำ   1) จากการคูณไขว้       

           จะได้ 2×45 = 90

                    6×15 = 90

     ดังนั้น 2×45 = 6×15

     นั่นคือ =

2) จากการคูณไขว้            

            จะได้ 3×10 = 30

                       7×6 = 42

     ดังนั้น 3×10  7×6

 

      นั่นคือ        

             ตอบ     1) และ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

                            2)  เป็นอัตราส่วนที่ไม่เท่ากัน

1.1 อัตราส่วน

        อัตราส่วนของปริมาณ a ต่อ ปริมาณ b เขียนแทนด้วย a:b  หรือ เรียก a ว่า จำนวนแรก หรือจำนวนที่หนึ่งของอัตราส่วน และเรียก b  ว่าจำนวนหลังหรือจำนวนที่สองของอัตราส่วน อัตราส่วน a ต่อ b จะพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ a และ b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น

        ตำแหน่งของจำนวนในแต่ละอัตราส่วนมีความสำคัญ กล่าวคือ เมื่อ a b  อัตราส่วน a:b ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับอัตราส่วน b:a เช่น อัตราส่วนของปริมาณผักเป็นกำต่อราคาเป็นบาทเป็น 3:10 ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับ 10:3 ทั้งนี้เพราะอัตราส่วน 3:10 หมายถึง ปริมาณผัก 3 กำ ราคา 10 บาท ในขณะที่อัตราส่วน 10:3 หมายถึง ปริมาณผัก 10 กำ ราคา 3 บาท

ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

1.อัตราครู 1 คน ต่อนักเรียน 20 คน

2.ไข่ไก่ 10 ฟอง ราคา 22 บาท

3.ค่าโดยสารรถประจำทางตลอดสายคนละ 3.50 บาท

4.รถยนต์วิ่งด้วยอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

5.อัตราแลกเปลี่ยนเงิน 47.14 บาทต่อ 1 ยูโร

6.นมสด 12 กระป๋อง ราคา 93 บาท

จากข้อความข้างต้นเราสามารถเขียนอัตราส่วนแสดงความสัมพันธ์ได้ ดังนี้

1.อัตราส่วนของจำนวนครูต่อนักเรียน เป็น 1:20

2.อัตราส่วนของไข่ไก่เป็นฟองต่อราคาเป็นบาท เป็น 10:22

3.อัตราส่วนของจำนวนผู้โดยสารเป็นคนต่อค่าโดยสารเป็นบาท เป็น 1:3.50

4.อัตราส่วนของระยะทางเป็นกิโลเมตรต่อเวลาที่ใช้เดินทางเป็นชั่วโมง เป็น 80:1

5.อัตราส่วนของจำนวนเป็นเงินบาทต่อจำนวนเงินเป็นยูโร เป็น 47.14:1

6.อัตราส่วนของจำนวนนมสดเป็นกระป๋องต่อราคาเป็นบาท เป็น 12:93

 

จากการเขียนอัตราส่วนข้างต้น จะเห็นว่า อัตราส่วนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยเดียวกันและมีความชัดเจนเป็นหน่วยของสิ่งของสิ่งใด เช่น น้ำหนัก หรือ ปริมาตร เราไม่นิยมเขียนหน่วยกำกับไว้ ดังตัวอย่างเช่น

อัตราส่วนของน้ำหนักหญ้าสดต่อน้ำหนักมูลไก่ เป็น 50:5 หรือ

อัตราส่วนของปริมาณหญ้าสดต่อปริมาณมูลไก่โดยน้ำหนัก เป็น 50:5

ถ้าเป็นอัตราส่วนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยต่างกัน เราจะเขียนหน่วยกำกับไว้ เช่น อัตราส่วนของจำนวนไข่เป็นฟองต่อราคาเป็นบาท เป็น 10:22

สถานการณ์ปัญหา       

      ผู้ใหญ่มานะเป็นผู้ใหญ่บ้านของหมู่บ้านรักสงบซึ่งมีคนอาศัยอยู่ 1,200 คน ร้อยละ 6 ของจำนวนคนทั้งหมดทำงานโรงงานสัปปะรดกระป๋อง ร้อยละ 10 ของจำนวนคนทั้งหมดทำงานโรงงานเซรามิคและ ร้อยละ 25 ของจำนวนคนทั้งหมดมีอาชีพทำไร่ทำสวน ผู้ใหญ่มานะอยากทราบว่า ร้อยละ 6, ร้อยละ10, ร้อยละ 25 คิดเป็นจำนวนคนกี่คนแต่ผู้ใหญ่มานะคิดไม่เป็น
        ในฐานะที่คุณเป็นผู้รอบรู้ คุณจะมีวิธีคิดออกมาให้ได้จำนวนคนอย่างไร

ภารกิจ

 1.จงหาจำนวนคนที่ทำงานในโรงงานสัปปะรดว่ามีกี่คน แสดงวิธีคิดมาอย่างละเอียด
2.จงหาจำนวนคนที่ทำงานในโรงงานเซรามิคว่ามีกี่คน แสดงวิธีคิดมาอย่างละเอียด
3.จงหาจำนวนคนที่มีอาชีพทำไร่ทำสวนว่ามีกี่คน แสดงวิธีคิดมาอย่างละเอียด